摘要：图论在扩散加权共振磁共振成像中的应用使得人们可以将大脑描述为一个复杂的网络，通常称为结构网络。多年来，人们对大脑网络的小世界特性进行了研究和报道。然而，很少有研究超越了聚类和特征路径长度。在这项工作中，我们将健康大脑和受阿尔茨海默病影响的大脑的结构连接网络与人工小世界网络进行比较。基于统计分析，我们展示了如何使用Newman-Watts过程构建人工网络。两个结构矩阵的网络量词在一个概率谷中被识别。尽管结构连接矩阵和人工小世界网络之间有相似之处，但在阿尔茨海默病患者的大脑中可以发现更多的同配性。由于实验数据有限，我们不能确定阿尔茨海默病和同配性之间的直接联系。然而，我们想要引起人们对一个被忽视的重要网络量词的关注。我们的研究结果表明，网络量化器可以帮助识别真实结构连接中的异常情况，例如阿尔茨海默病，该疾病破坏了神经元之间的交流。我们的主要结果之一是，除了同配性之外，阿尔茨海默症大脑的网络指标几乎与小世界网络相同。
1. 介绍
最早完全报道的神经网络之一是线虫。线虫的神经系统由302个神经元组成，这些神经元通过5000个化学突触和600个电突触相连。由于线虫的高度聚集性和节点间的平均距离很短，Watts和Strogatz认为线虫的大脑网络可以被认为是小世界。在动物和人类的大脑网络中观察到了小世界网络。小世界特性的证据也可以在体外的神经元集合中找到。神经元网络的小世界性被假设为与最小线路成本、稳健性和局部处理与全脑整合之间的平衡相关的优化过程的结果。大脑网络可以在不同的层次上获得，如微尺度、中尺度和宏观尺度。微观尺度是指神经元和突触的水平，宏观尺度是用来定义大脑区域和大规模的通讯途径。中尺度是介于微观和宏观尺度之间的一个中间层次，在这里，神经元系统的大部分之间的联系被定义。中尺度网络的一个简单例子是迷你柱。
神经元网络分为结构型和功能型。功能网络是基于脑电图(EEG)、脑磁图(MEG)或功能磁共振成像(fMRI)的测量。与健康受试者相比，阿尔茨海默病患者的功能网络路径长度增加。结构连接可以通过扩散加权磁共振成像(DW-MRI)和图论来表示。DW-MRI分析白质中的水分子扩散，并结合纤维束造影，它可以用来识别大脑中的结构连接。猕猴与猫的结构连接矩阵呈现出复杂的结构。通过测量皮层厚度，观察到结构连接矩阵中存在簇和模块化结构。具有小世界特性和指数截断幂律分布的脑网络也被报道。
在人类中，结构连接矩阵介导了几种复杂的认知功能。。在精神障碍和神经退行性疾病患者中发现了结构网络结构的异常。精神分裂症患者额叶和颞叶皮质的分离。自闭症患者额叶皮质高连接性的报道。阿尔茨海默病患者表现为路径长度增加和全局效率降低。脑网络的改变是一个很好的指标，表明网络特性可以作为临床应用的生物标志物。Lo等使用扩散张量纤维束成像技术，从健康和阿尔茨海默病受试者的实验数据构建了大脑网络。根据自动解剖标签模板将网络划分为78个区域。区域之间的连接是根据通过连续跟踪算法通过纤维分配获得的纤维数量来定义的。
在这项工作中，我们分析了一个健康受试者和一个阿尔茨海默病受试者的结构连接矩阵的网络性质。在确定了网络的传递性、路径长度、协调性等性质之后，我们证明了用Newman-Watts过程也可以构造类似的网络。我们的主要结果之一是表明阿尔茨海默病大脑的网络指标除了同配性，其余与小世界网络几乎相同。在第2节中，我们简要讨论了连接体的网络表示。在第三节中，我们介绍了可以用来量化网络的基本量。在3.2节中，我们将演示如何生成具有统计意义的小世界网络样本。在第4节中，我们将人脑网络的特性与小世界网络进行了比较。在第5节中，我们发表最后的评论。
2.方法论
我们的分析包括网络属性的量化，这将在2.1节中讨论。第2.2节将讨论生成具有统计意义的小世界网络样本的过程。
2.1. 网络的性质
网络属性提供了关于分离、集成和影响的信息。分离属性与集群或模块的存在相关，集成属性与网络通过其节点传输信息的能力相关。分离和集成与网络特征相联系，而影响集中于证明网络内节点相关性信息的节点特征。
2.1.1 邻接矩阵的特征值
邻接矩阵A的特征值是通过求解A的特征方程得到的:
其中I是单位矩阵，满足公式(1)的λ的值是特征值。如果网络是对称的，Aij=Aji，则所有特征值都是实数。
2.1.2 度与节点强度
度K_i是指节点的邻居数量，其中N表示网络规模。它被认为是提供有关网络影响的信息的最简单的方法之一。利用度分布来区分规则网络和随机网络。
对于加权网络(Wij)，使用节点强度s_i而不是度K_i可能更合适。节点强度s_i定义为节点连接的总和：
2.1.3 传递性
传递性T，也称为聚类，是衡量网络分离程度的指标。传递性是指节点i与其相邻节点K_i之间的聚集量，邻居之间的最大连接数为：
C_i定义为活动连接数与最大连接数C_(max(i))之间的比率。传递性T是网络中所有节点的平均值。
其中δ(G)是图G中三角形的个数, τ(G)表示图G中的三元组的个数。
一种简单的方法是使用算术平均值。如果节点i、j和k相连，形成一个三元组，则三元组的值是Wijk和Wjk之间的算术平均值。当节点i、j和k都相互连接时，三元组被认为是紧密的三元组。
2.1.4. 特征路径长度
特征路径长度L度量网络中所有节点对之间最短路径d_ij的平均值
这个量用于加权网络和非加权网络，它提供了网络集成的信息。在处理扩散过程和加权网络时，最短路径d_ij的计算应采用节点强度的逆。例如，如果w12 =2，那么dij=1/2，这种方法认为节点强度越高，信息在节点中扩散的越快。
2.1.5 模块化
网络可以划分为两个或多个模块，简单的解决方法是将网络划分为两个模块，其中一个模块包含一个节点，另一个模块包含所有剩余节点。基本上，模块化结构是为任何网络定义的，问题是知道在复杂网络中识别模块的最佳方法。纽曼定义了一个描述模块化的优化量
其中
Si和sj是依赖于组别的指标。网络分为两组，如果节点j属于组1，则sj=1；如果节点j属于组2，则Sj =-1。Q可以是正值，也可以是负值，正值表示可能存在群落结构。
2.1.6. 同配性
同配性(ASR)是高连接节点与其他相似度k的节点连接的趋势的度量。当高连接节点更多地连接到低连接节点时，网络呈现出散乱混合。为了定义同配性，需要定义q(k)和p(k)。随机节点具有度的概率是由度分布p(k)给出的，但是选择随机边的概率不是与p(k)成比例，而是与kp(k)成比例，因为连接最多的节点接收到更多的连接。考虑到节点i通过随机选择的边连接到节点j，剩余的度是离开节点j的节点数，不包括节点i。归一化剩余度分布由下式给出
同配性ASR定义为：
其中σ_q^2剩余度的方差，e(i,j)是两个节点剩余度的联合概率分布。同配性定义在−1≤A≤1区间内，当A=1表示网络具有完全同配性混合模式时，A=0表示网络不同配性，而A=−1表示网络完全同配性。
2．2. 统计分析
为了构建一个小世界网络的样本，我们使用了多元数据分析，并选择了网络属性满足34个问题的网络(表2)。
2.2.1 多元数据分析
多变量分析是统计学的一个分支，它处理许多变量之间的关系，包括在实验中观察到的变量数量的减少。多元数据分析的主要工具是主成分分析(PCA)、因子分析、分类、结构方程模型(SEM)等技术。在我们的案例中，数据的多元分析有助于改变不直接相关的变量之间可能的二阶关系，如人际网络的传递性、协调性和模块化。在本文的最后，我们将展示如何使用SEM来关联这些措施。
2.2.2 编制问卷
我们对小世界模型中的人群进行问卷调查，该模型人工生成的网络规模为3至100个站点，从单一连接到全脑连接。样品的测定：
对于优化ˆp=ˆq=1 2，误差≈±3% N=2499人，zα/2是一个显著性水平α≈5%的z分数分布。在这种情况下，样本是≈492个小世界模型。问卷由34个变量或关于图形特性的问题组成，并应用于每个小世界。每个随机生成的模型都有一定的概率，用这34个变量来度量。
我们通过Cronbach’s α检验问卷的质量
K为组件数量，σ_(X_i)^2是观察到的测试总分的方差，σ_(Y_i)^2是生成的当前小世界样本的方差。小世界网络问卷质量(表1)为0.89，内部一致性较好。关于α的可接受值有不同的报道。在我们的研究中，我们使用了文献中普遍接受的较窄范围的α(表1)，主要用于二分法或李克特量表问题。
问卷由34个问题(或变量)组成，这些问题(或变量)在每个人工小世界网络中直接测量，如表2所示。每个变量都衡量一个重要的网络属性，并通过这些措施给出人类网络和小世界模型之间的比较。小型全局模板由10个站点生成，最多100个站点。每个生成的模型在单个邻居和全球网络之间具有不同的邻域连接。这样就产生了492个小世界网络样本。通过Kaiser-Meyer-Olkin(KMO)检验的抽样充分性度量(RMSA)表明，对于KMO=0.73[48]值而言，被认为是合理的。
其中r_ij 是相关矩阵项,a_ij反图像相关矩阵项。在这种方法中，逆相关矩阵与对角矩阵非常接近。验证矩阵相关是否在统计上等价于恒等式矩阵，我们使用巴特利特检验。基本假设是总体相关矩阵是单位矩阵的等价。在我们的变量组中，p-value<< 0.05表示拒绝无效假设并接受原因分析。
3.结果
3.1 结构连接矩阵
在这项工作中，我们使用了两个结构连接矩阵，一个用于健康大脑(图1(a))，另一个用于阿尔茨海默病大脑(图1(b))。矩阵是由Lo等人得到的，其中通过自动解剖标记模板确定脑网络的节点。他们使用扩散磁共振成像跟踪成像方法和连续跟踪算法进行纤维分配，分别确定纤维的边缘和数量。根据光纤的数量，我们定义了按互连光纤的频率分布的权重值。这两个网络都是加权的和对称的，权重与连接的强度相关，可以采用四个值：0(无连接，白色区域)、1(低密度连接，靛蓝色圆圈)、2(中等密度连接，红色圆圈)和3(高密度连接，橙色圆圈)。网络的主要结果如表3所示。图1显示了两个邻接矩阵连接：(A)健康大脑和(B)阿尔茨海默病大脑。这些邻接矩阵的特征值如图2所示。健康结构连接矩阵为黑色，阿尔茨海默氏症结构连接矩阵为红色。78个结点的小世界本征值谱p=0.0375(蓝线)。三种结构矩阵的纵本征值非常接近。当邻接矩阵的离散度存在一定差异时，特征值是等价的。
3.2. 小世界网络
小世界网络不仅具有较高的聚类系数(如规则图)，而且具有较高的平均最短路径长度(如随机图)。许多现实世界网络表现出小世界属性，如社会网络、技术网络和生物网络。在小世界网络中观察到的一个现象是同步，例如在耦合振荡器和神经元群集网络中的同步行为。
可以通过不同的方法生成具有小世界属性的网络。最常见的方法是由Watts和Strogatz开发的，其中规则边被随机边取代。当替换约1%的总边时，网络表现出高传递性和低路径长度。在我们的分析中，我们考虑了另一种方法，在该方法中，我们不是将规则边随机替换为随机边，而是只添加随机边。我们增加了pNK条随机边，其中N是网络规模，K是规则网络度，pi是增加新边的概率。我们将小世界性质T和L与正则网络T(0)和L(0)的值进行比较并加以识别。我们发现：
人机图中的节点数为78个节点，每个节点的平均度为7个邻居。由于这一事实，我们在这些条件下创建等效连接网络，以完全依赖于呼叫概率。它是生成的小世界图，节点数N=78，每个节点7个邻居，并且没有连接的可能性(p=0)，这意味着平均长度L0=3.27273，传递性C0=0.69231。对于图1的两个网络
对于健康的大脑，我们发现健康的人L=2.24875， C=0.57813,C/C0比阿尔茨海默病的大脑高出约1.4%，而L/L0比阿尔茨海默病的大脑低约3.1%。阿尔茨海默病网络中传播的信息给信息在网络中的传播带来了更大的困难，变得比健康人体基质更加复杂。因此，网络的转移与其分组之间似乎存在着一种关系，即同配性、模块性和传递性之间的关系。
3.2.1. 回归分析
在一个样本中， n=429个小世界类型网络，执行5个副本以在其他网络中创建变异。根据连接概率的对数，传递性的色散显示出一个由带连接恒等式的广义高斯模型族调整的衰减
导致以下回归
例如，当概率连接p=9.1188196×10−4时，logp =−7, T_SW约为0.50568。这个概率值与小世界连接的概率一致。当连接概率增大时，传递系数的离散度也增大。另一方面，概率联系的减少导致分散变得更小和更集中，这是一个良好的小世界区域的特征。T_H=T_M=T_SW对小世界模型有效。式子17)的另一个特征是它的传递率与概率对数的关系，
当我们比较健康人类邻接矩阵和阿尔茨海默病人类矩阵时，传递性与指数的比值等于小世界模型中的损失值。
与正常状态下的人类网络相比，阿尔茨海默病患者网络中的传输速率和流量速率表现出与传递性相同的下降，如表4所示。研究表明，阿尔茨海默病患者的转移率和流动率下降了5.4%，可能是因为传递性下降了3.1%。
3.2.2. 同配性
最难进行统计分析的指标之一是网络的可选性。由于小世界的网络拓扑对(重新)连接概率非常敏感。这一点可以在健康和阿尔茨海默氏症网络中得到验证。T=0.57，同配性变化很大。然而，阿尔茨海默病患者大脑的可选性是健康大脑的2.5倍(表3)。
我们计算了n=492个样本的小世界网络的配位度分布。在例如N=10和二阶连接的样本中，根据假设H0：u_ASR =0的T检验，分类呈现为=
3.2.3. 概率谷
概率谷是小世界结构表现为一系列突变的区域。正是在这个区域，我们确定了在给定等价的模块性和传递性的情况下，类似性的突然行为。小世界模型的这三个测量值相当于人类矩阵的测量值，就在这个山谷里找到了。概率凭证是通过结构方程模型(SEM)发展而来的，在结构方程模型中，概率凭证与可选性、传递性和模块性有间接关系。由于有类度等价于网络中各站点之间的关联关系，因此我们将网络的传递性和模块性作为确定的概率谷的函数来表示有类性。概率谷区表明概率作为模块性、传递性和效率的函数可能存在，这与SEM分析是一致的。根据SEM分析，这表明可能存在模块性、同配性、及物性和有效性功能的依赖。在同一区域内，随机性溢出发生在类似性上，增加了传递性和模块性。协调性和传递性的增加意味着连接概率的衰减，这证实了概率值减小。水平曲线的更详细的视图显示了曲线的复杂结构，该曲线具有纵坐标上的模数。在该区域之外，分类的值为零或接近于零。
为了生成图3，我们考虑一组100个独立的小世界网络模型，从10个站点开始，一直到100个站点。在所有模型中，我们都会改变非耦合状态(p=10^(-6))和整体状态(p=1)。图3中的红点位于模块性(≈0.45)和传递性(≈0.58)与在健康大脑中发现的结果相等的区域。这一点与阿尔茨海默病患者大脑的分类结果(≈−0.02)是一致的。这张图位于这一点上，有78个站点，7个连接邻居，概率范围为〖8.10〗^(-8) 4.讨论 当我们比较网络量词(传递性、协调性、模块性…..)的值时。在大脑网络和小世界样本中，我们观察到它们位于概率谷。小世界样本的特征路径长度和传递性如图4所示。样本和大脑网络之间的一致性是P=0.0375，可以从图中的蓝点和红点观察到。比较健康和阿尔茨海默氏症网络，我们发现传递性的差异为3.1%。对于健康人来说，传递性比阿尔茨海默氏症的大脑更强，而特征路径长度(L)则相反。加权连接矩阵特征值Wij对于矩阵结构之间的比较是有用的。在图2中，我们显示了图1的两个网络的本征值谱。我们验证了这两个网络的特征值是相似的。小世界样本的特征值与人工神经网络非常接近。表5显示，健康大脑的平均路径长度非常接近小世界网络。传递性、同配性和模块性几乎是相同的。在表6中，我们看到阿尔茨海默病大脑和小世界网络有相似的数值，除了分类数值，ε=59.62%。正传递性与前人的工作一致。在分类上的巨大差异是意想不到的。然而，在功能网络中，观察到临床痴呆症分级为1级的患者的匹配性增加。在结构网络中，有报道称患有轻度认知障碍的阿尔茨海默病患者的同配性增加。 5.结论 在这项工作中，我们展示了小世界网络可以用来模拟健康的大脑网络。在我们的例子中，健康的大脑可以通过p=0.0375的纽曼-瓦茨小世界网络来复制。例如，对于平均路径长度，一致性为97%。 我们证实，健康的大脑可以被具有小世界属性的网络所模仿。阿尔茨海默氏症大脑的网络指标与小世界网络几乎相同，除了分类。尽管我们的数据有限，但我们相信，分类与阿尔茨海默氏症患者大脑结构连接的重要变化有关。 我们关注的是正常人和阿尔茨海默病患者之间的网络构成差异。然而，为了验证我们目前的猜想，应该考虑进行统计验证。在这里，我们只使用一个患者样本，在临床水平上，另一方面，需要大量的患者样本才能得出疾病的一个指标。由于这一事实，在未来的工作中，我们计划考虑到更大的健康患者和阿尔茨海默病患者的样本，来分析结构连接矩阵的网络性质。
